$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$ $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$ $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \dots + \binom{\alpha}{n}x^n + o(x^n)$
$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)$
$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})$ $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)$ $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+2})$

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)$
$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + o(x^2)$

$\sin x \underset{0}{\sim} x \qquad \tan x \underset{0}{\sim} x \qquad \arcsin x \underset{0}{\sim} x \qquad \arctan x \underset{0}{\sim} x$ $e^x - 1 \underset{0}{\sim} x \qquad \ln(1+x) \underset{0}{\sim} x \qquad (1+x)^\alpha - 1 \underset{0}{\sim} \alpha x$ $1 - \cos x \underset{0}{\sim} \frac{x^2}{2}$

$x^p \cdot o(x^n) = o(x^{n+p})$ $o(x^n) + o(x^n) = o(x^n)$ $f(x) = a_k x^k + \dots + o(x^n) \implies f(x) \underset{0}{\sim} a_k x^k$ (premier terme non nul)
Autorisé : multiplier, diviser, élever à une puissance constante les équivalents. Interdit : sommer ou composer des équivalents sans passer par un DL.